Овал на Касини

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Овал на Касини

Овал на Касини или крива на Касини е плоска алгебрична крива от четвърта степен, представляваща множеството от точките, произведението на разстоянията от които до две зададени точки е постоянно число (лемниската с два фокуса).

В декартова координатна система с начало средата на отсечката между двата фокуса и абсциса по продължение на същата отсечка, уравнението на овала на Касини е

(x 2 + y 2 + c 2) 2 - 4 c 2 x 2 = a 4

където c е половината от разстоянието между фокусите, т.е. координатите на фокусите са F₁(c,0) и F₂(-c,0).

В полярна координатна система уравнението на кривата е

$r^2 = c^2 \cos 2\varphi \pm \sqrt{c^4 \cos^2 2\varphi + a^4 - c^4}$ ,

което се получава след полагане на $x = r \cos \varphi$ и $y = r \sin \varphi$ .

[редактиране] Класификация

Овалите на Касини като сечения на тор с равнина

Формата на един овал на Касини зависи от отношението между a, c и $c \sqrt{2}$ . Пълното разбиране за същността на кривата на Касини идва в момента, когато се даде нейната геометрична визуализация: а именно кривата на Касини представлява сечение на тор с равнина успоредна на оста на ротация. Формата на кривата зависи от това къде ще бъде отсечен торът.

При a < c овалът на Касини се състои от две поотделно свързани затворени изпъкнали криви.

При a = 0, двете примки се израждат до симетрични окръжности.
При 0 < a < c, кривата се разпада на две симетрични относно ординатата половини, наричани „примки“ или „яйца“ ([1]).

При $a \ge c$ , кривата е едносвързана. Пресича оста x в точките $S_1 (- \sqrt{a^2+c^2}, 0)$ и $S_2 (\sqrt{a^2+c^2}, 0)$ , а пресича оста y в точките $N_1 (0, - \sqrt{a^2-c^2})$ и $N_2 (0, \sqrt{a^2-c^2})$ .

В частния случай a = c се получава лемнискатата на Бернули, за която точките $N 1, N 2$ съвпадат, т.е. кривата има една точка на самопресичане ([2]).
При $c < a < c \sqrt{2}$ , овалът на Касини се вдлъбва и точките $N 1$ и $N 2$ вече играят ролята съответно на локални максимум и минимум. Освен тях овалът има още 4 инфлексни точки и още 4 локални екстремума. В математическия фолклор кривата в този случай се нарича също "фъстък" ([3]).
За $a = c \sqrt{2}$ , кривината в точките $N 1$ и $N 2$ е нула. В околност на тези точки допирателните към овала на Касини съвпадат с кривата.
При $a \ge c \sqrt{2}$ , точките $N 1$ и $N 2$ играят ролята съответно на минимум и максимум. Кривата е изпъкнала и поради формата си шеговито е наричана "пъпеш".

[редактиране] История

Около 1680 Джовани Касини е изследвал фамилия криви, които е смятал че описват орбитата на земята около слънцето. Частния случай при a = c е изследван през 1694 г. от Якоб Бернули, който обаче не е имал представа за връзката между неговата крива и овалите на Касини. Тази връзка, както и представянето на овалите като сечения на тор с равнина се установява едва през XIX в.

[редактиране] Външни препратки

Взето от „http://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B2%D0%B0%D0%BB_%D0%BD%D0%B0_%D0%9A%D0%B0%D1%81%D0%B8%D0%BD%D0%B8“.

Категория: Криви